2-1-13．開關變壓器渦流損耗分析
開關變壓器的渦流損耗在開關電源的總損耗中所占的比例很大，如何降低開關變壓器的渦流損耗，是開關變壓器或開關電源設計的一個重要內容。
變壓器生產渦流損耗的原理是比較簡單的，由于變壓器鐵芯除了是一種很好的導磁材料以外，同時它也屬于一種導電體；當交變磁力線從導電體中穿過時，導電體中就會產生感應電動勢，在感應電動勢的作用下，在導電體中就會產生回路電流使導體發熱；這種由于交變磁力線穿過導體，并在導體中產生感應電動勢和回路電流的現象，人們把它稱為渦流，因為它產生的回路電流沒有作為能量向外輸出，而是損耗在自身的導體之中。
單激式開關變壓器的渦流損耗計算與雙激式開關變壓器的渦流損耗計算，在方法上是有區別的。但用于計算單激式開關變壓器渦流損耗的方法，只需稍微變換，就可以用于對雙激式開關變壓器的渦流損耗進行計算。例如，把雙激式開關變壓器的雙極性輸入電壓，分別看成是兩次極性不同的單極性輸入電壓，這樣就可以實現對于雙激式開關變壓器渦流損耗的計算。因此，下面僅對單激式開關變壓器的渦流損耗計算進行詳細分析。
當有一個直流脈沖電壓加到變壓器初級線圈的兩端時，在變壓器初級線圈中就就有勵磁電流通過，并在變壓器鐵芯中產生磁場強度H和磁感應強度B，兩者由下式決定：
上式中ΔB和ΔH分別為磁感應強度增量和磁場強度增量，τ為直流脈沖寬度，B(0)和H(0)分別為t = 0時的磁感應強度B和磁場強度H。
傳統的變壓器鐵芯為了降低渦流損耗，一般都把變壓器鐵芯設計成由許多薄鐵片，簡稱為鐵芯片，互相重迭在一起組成，并且鐵芯片之間互相絕緣。
圖2-19表示變壓器鐵芯或變壓器鐵芯中的一鐵芯片。我們可以把這些鐵芯片看成是由非常多的“線圈”（如圖中虛線所示）緊密結合在一起組成；當交變磁力線從這些“線圈”中垂直穿過時，在這些“線圈”中就會產生感應電動勢和感應電流，由于這些“線圈”存在電阻，因此這些“線圈”要損耗電磁能量。
在直流脈沖作用期間，渦流的機理與正激電壓輸出的機理是基本相同的。渦流產生磁場的方向與勵磁電流產生磁場的方向正好相反，在鐵芯片的中心處去磁力最強，在邊緣去磁力為零。因此，在鐵芯片中磁感應強度分布是不均勻的，即最外層磁場強度最大，中心處最小。如果渦流退磁作用很強，則磁感應強度的最大值可能遠遠超過其平均值，該數值由已知脈沖的幅度和寬度來決定。
[page]
沿鐵芯片截面的磁場分布，可以用麥克斯韋的方程式來求得；麥克斯韋的微分方程式為：
上式中 
為變壓器鐵芯的平均導磁率， 
為鐵芯的電阻率，負號表示渦流產生的磁場方向與勵磁電流產生的磁場方向相反。rot E和rot Hx分別表示電場和磁場的旋度，即渦旋電場和渦旋磁場的強度。Hx、Hy、Hz分別磁場強度H的三個分量；Bx、By、Bz分別磁感應強度B的三個分量；Ex、Ey、Ez分別電場強度H的三個分量。
由于單激式開關電源變壓器鐵芯的磁滯回線面積很小，其磁化曲線基本上可以看成一根直線，導磁率 也可以看成是一個常數；因此，這里使用平均導磁率 來取代意義廣泛的導磁率。
從圖2-19可以看出，磁場強度由H = Hz:和Hx = Hy = 0組成；對于電場強度，其指向平行于Y軸為E = Ey，Ex = Ez = 0。因此，上面兩式又可以改寫為：
（2-48）式進行微分，然后代入（2-47）式，即可求得磁場強度的一維分布方程為：
（2-49）
由于加到變壓器初級線圈兩端的電壓是一個直流脈沖方波，在穩定狀態條件下，勵磁電流產生的磁場強度或磁通密度的增長應與時間成線性關系，即：
[page]
由于在變壓器鐵芯片內，截面磁場強度的平均值Ha，在任一時間內都必須等于電磁感應所要求的值，即滿足（2-40）式的要求，因此對應圖2-19對（2-53）式求平均值得：
圖2-20-a和圖2-20-b分別是由（2-56）式給出的，鐵芯片中磁場強度按水平方向分布的函數H(x)和按時間分布的函數H(t)曲線圖。
從圖2-20-a中可以看出，由于渦流產生反磁化作用的緣故，在鐵芯或鐵芯片中心磁場強度最低，而邊緣磁場強度最高。
在圖2-20-b中，隨著時間線性增長部分是變壓器初級線圈勵磁電流產生的磁場；Hb是為了補償渦流產生的去磁場，而由變壓器初級線圈另外提供電流所產生的磁場。
從圖2-20-b可以看出，渦流損耗對變壓器鐵芯中磁場強度（平均值）的影響，與變壓器正激輸出時，次級線圈中電流產生的磁場對變壓器鐵芯磁場的影響，基本是一樣的。值得注意的是，如果用同樣方法對y軸方向進行分析，也可以得到同樣的結果。
從圖2-20-a可以看出，當x =
時，鐵芯片表面磁場強度的最大值為：
（2-57）
當鐵芯或鐵芯片表面磁場強度的最大值Hm高于磁場強度的平均值Ha時，其差值為：
根據（2-57）式可知，鐵芯或鐵芯片表面的磁場由兩個部分組成：
(1)平均磁場，它隨時間線性增長，由線圈中固定的電動勢感應所產生；
(2)常數部分，它不隨時間變化，由補償渦流產生的去磁場所形成。
[page]
對應鐵芯片表面的兩部分磁場，我們可以把它們分別看成是由Iu和Ib兩部分電流產生的。根據安培環路定律：磁場強度矢量沿任意閉合路徑一周的線積分，等于穿過閉合路徑所包圍面積的電流代數和。以及磁路的克希霍夫定律：在磁場回路中，任一繞行方向上磁動勢NI（N為線圈匝數，I為電流強度）
的代數和恒等于磁壓降 的代數和，即：
圖2-21-a就是根據（2-62）、（2-63）式畫出的開關變壓器受渦流影響時，輸入端磁化過程的等效電路圖。
圖2-21-a中，Rb為渦流損耗等效電阻，N為變壓器初級線圈。由此可以看處，由于受渦流損耗的影響，變壓器鐵芯被磁化時，相當于一個渦流損耗等效電阻Rb與變壓器初級線圈N并聯。
圖2-21-b是更形象地把渦流損耗等效成一個變壓器次級線圈N2給損耗電阻Rb2提供能量輸出，流過變壓器次級線圈N2的電流
，可以通過電磁感應在變壓器初級線圈N1中產生電流
。
根據（2-61）式和圖2-21，可求得變壓器的渦流損耗為：
（2-64）
（2-64）式中，
為變壓器鐵芯的體積，S為變壓器鐵芯的面積， L為磁回路的平均長度， 
為鐵芯片的厚度，N為變壓器初級線圈匝數， 
為鐵芯片的電阻率，τ為脈沖寬度，?B為磁感應強度增量。
由此，我們可以看出：變壓器鐵芯的渦流損耗，與磁感強度增量和鐵芯的體積成正比，與鐵芯片厚度的平方成正比，與電阻率及脈沖寬度的平方成反比。
[page]
值得注意的是，上面各式中代表面積S的屬性，它既可以代表某一鐵芯片的截面積，也可以代表變壓器鐵芯的總面積，當S變壓器鐵芯的總面積時，相當于上面結果是很多單個鐵芯片渦流損耗的代數和。同理，以上各式中代表鐵芯片厚度的 ，既可以代表某一鐵芯片的厚度，也可以代表變壓器鐵芯的總厚度，因為鐵芯片的厚度 的取值是任意的。
但是，在變壓器鐵芯總面積相等的情況下，由一塊鐵芯片或多塊相同厚度的鐵芯片組成的變壓器鐵芯，其渦流損耗是不相同的。例如，在變壓器鐵芯總面積相等的情況下，由一塊鐵芯片組成的變壓器鐵芯的渦流損耗，是由兩塊鐵芯片組成的變壓器鐵芯渦流損耗的4倍；如果兩者鐵芯片的數目的比值為3倍，那么渦流損耗的比值就是9倍。由此可知，渦流損耗是按n2遞減的，其中n為變壓器鐵芯芯片的個數。
實際用（2-64）式來計算開關變壓器的渦流損耗還是有一定局限性的，因為，在對（2-64）式的推導過程中并沒有考慮兩塊鐵芯片之間渦流磁場的互相影響，從原理上來說變壓器鐵芯中間的鐵芯片與邊緣的鐵芯片之間渦流磁場互相影響程度是不一樣的；并且鐵芯片與鐵芯片之間不可能完全絕緣。
另外，目前大多數開關變壓器使用的鐵芯材料基本上都是鐵氧體導磁材料，這些以鐵氧體為材料的變壓器鐵芯是按陶瓷的生產工藝，先把鐵磁混合材料沖壓成型，然后加高溫燒結而成，因此它是一個整體，或為了安裝方便把它分成兩個部分組合而成。
如果把以鐵氧體變壓器鐵芯的形狀看成是一個圓柱體，那么（2-45）、（2-46）的麥克斯韋一維方程式就可以看成是電磁場能量是由圓柱體中心向周圍傳播和散發的；這樣圓柱形變壓器鐵芯就相當于由不同內外徑，厚度變量為 的多個圓筒體組合而成。或者，把整個鐵氧體變壓器鐵芯，看成為由單個厚度為d/2的圓柱體組成，這里d為圓柱體的直徑。
圖2-22就是用來求鐵氧體圓柱體變壓器鐵芯內某截面磁場分布的原理圖，圖中虛線表示交變磁場在變壓器鐵芯內部感應產生渦流。我們用同樣的方法，從（2-54）開始對表示磁場分布的（2-53）式進行積分求平均值，然后求出積分常數c2，即可以求得圓柱體鐵芯內的磁場分布式：
（2-65）式中，?H為變壓器鐵芯片中磁場強度增量，d為圓柱體鐵芯的直徑， 為變壓器鐵芯的平均導磁率， 為鐵芯片的電阻率，τ為脈沖寬度。
[page]
上面（2-65）式是表示圓柱體鐵芯截面沿ｘ軸方向的磁場分布圖。其實磁場分布在整個鐵芯截面的xy平面內都是以中心對稱的。這樣圓柱形變壓器鐵芯中的磁場強度在xy平面的分布函數H(x,y)曲面，就相當于把圖2-20-a的函數曲線，以中心為圓心旋轉一周而得到的新圖形。
圖2-23-a和圖2-23-b是圓柱形變壓器鐵芯中磁場強度按水平方向分布的函數H(x,y)曲面圖和按時間分布的函數H(t)曲線圖。
根據上面分析，以同樣方法我們可以求出圓柱體變壓器鐵芯的渦流損耗為：
（2-66）式中，
為變壓器鐵芯的體積，S為變壓器鐵芯的面積，L 為磁回路的平均長度，d為圓柱體鐵芯的直徑， 為鐵芯片的電阻率，τ為脈沖寬度，?B為磁感應強度增量。
由此我們對園柱體變壓器鐵芯同樣可以得出結論：圓柱體變壓器鐵芯的渦流損耗，與磁感強度增量和鐵芯的體積成正比，與鐵芯直徑的平方成正比，與電阻率及脈沖寬度的平方成反比。或者，圓柱體變壓器鐵芯的渦流損耗，與磁感強度增量以及鐵芯直徑的四次方成正比，與電阻率及脈沖寬度的平方成反比。
（2-66）式與（2-64）式在原理上沒有本質上的區別，因此，圖2-21的等效電路對于（2-66）式同樣有效。
上面對渦流工作原理的分析，雖然看起來并不是很復雜，但要精確計算渦流損耗的能量是非常困難的。因為很難精確測量出變壓器鐵芯的損耗電阻，特別是，目前大多數開關變壓器使用的鐵芯材料，基本上都是鐵氧體導磁材料；這些鐵氧體變壓器鐵芯是由多種鐵磁金屬材料與非金屬材料混合在一起，然后按陶瓷的生產工藝，把鐵磁混合材料沖壓成型，最后加高溫燒結而成的。
由于鐵氧體屬于金屬氧化物，大部分金屬氧化物都具有半導體材料的共同性質，就是電阻率會隨溫度變化，并且變化率很大。熱敏電阻就是根據這些性質制造出來的，溫度每升高一倍，電阻率就會下降（或上升）好幾倍，甚至幾百倍。大多數熱敏電阻的材料也屬于金屬氧化物，因此，鐵氧體也具有熱敏電阻的性質。
鐵氧體變壓器鐵芯在常溫下，雖然電阻率很大，但當溫度升高時，電阻率會急速下降；相當于圖2-21-a中的Rb渦流等效電阻變小，流過Rb的電流增加；當溫度升高到某個極限值時，變壓器初級線圈的有效電感量幾乎下降到0，相當于導磁率也下降到0，或相當于變壓器次級線圈被短路，此時的溫度稱為居里溫度，用Tc表示。因此，鐵氧體的電阻率和導磁率都是不穩定的，鐵氧體開關變壓器的工作溫度不能很高，一般不要超過120度。
圖2-24是日本TDK公司高導磁率材料H5C4系列鐵芯初始導磁率 隨溫度變化的曲線圖。
順便說明，圖2-24中的初始導磁率 一般是用磁環作為樣品測試得到的，測試信號的頻率一般比較低，僅為10kHz，并且測試時一般都選用最大導磁率作為結果；因此，實際應用中的開關變壓器鐵芯的導磁率并沒有這么高。
[page]
2-1-14．開關變壓器鐵芯氣隙的選取
前面已經提過，單激式開關變壓器由于輸入電壓為單極性電壓脈沖，當脈沖幅度和寬度超過變壓器的伏秒容量時，變壓器鐵芯將出現磁飽和。為了防止開關變壓器鐵芯出現磁飽和最簡單的方法是在變壓器鐵芯中留氣隙，或采用反磁場。
當在變壓器鐵芯中留有氣隙時，由于空氣的導磁率只有鐵芯導磁率的幾千分之一，磁動勢幾乎都降在氣隙上面；因此，留有氣隙的變壓器鐵芯，其平均導磁率將會大大下降；不但剩余磁感應強度也會降低，而且最大磁感應強度Bm可以達到飽和磁感應強度Bs；從而使磁通增量增大，變壓器鐵芯不再容易出現磁飽和。如圖2-25所示是留有氣隙的變壓器鐵芯的工作原理圖與磁化曲線圖 。
在圖2-25-a中，假設L1為氣隙長度，變壓器鐵芯磁路的總長度為Lc，則磁路的磁通勢為：
我們再來看圖2-25-b。在圖2-25-b中，虛線表示變壓器鐵芯沒有氣隙時的磁滯回線，實線表示變壓器鐵芯留有氣隙時的磁滯回線，其中磁化曲線o-a為留有氣隙鐵芯的基本磁化曲線。這里的基本磁化曲線與初始磁化曲線并不完全相同，這里的基本磁化曲線相當于磁化曲線的幾何平均值，以便用于分析磁場強度增量與磁感應密度增量，?B 的關系。
顯然，對應每一個氣隙長度的取值就有一組相應的磁滯回線；但不管氣隙長度取得多大，鐵芯的最大磁感應強度Bm只能達到鐵芯磁飽和時對應的Bs值，它不會隨著氣隙長度 L1的增長而繼續增長；而鐵芯的剩余磁感應強度Br也不會因氣隙長度 L1增長而大幅度下降。因此，L1應該有一個最佳值，它應該既要兼顧磁感應強度增量 ，?B的最大，也要兼顧平均導磁率 達到最大的條件。
[page]
為了求出L1的最佳值，我們可以沿著基本磁化曲線o-a不斷地畫切線，如圖中切線o-b；切線與H軸夾角 
的正切值 
就是此點的導磁率；當切線的相切點位于最大磁感應強度增量?B 的二分之一位置上時，這點的正切值 就可以認為等于平均導磁率 ；由此我們可以看出平均導磁率 總是小于或者等于正切值 。
如果我們把最大正切值 對應的磁感應強度增量?B 和磁場強度增量H，定義為鐵芯的最佳工作點，那么通過切線o-b就可以求出對應的 最佳值。可以證明通過原點的切線o-b是正切值最大的切線，因為實際中的基本磁化曲線是不存在的，基本磁化曲線相當于磁化曲線的幾何平均值，是一條按電容充電規律變化的指數曲線（請參考《2-1-11．開關變壓器鐵芯磁滯回線測量》章節的內容）；另外，所定義的最佳工作點就是氣隙長度L1最小值對應的工作點。
從圖2-25-b以及（2-67）式可以看出，當 
>>1時，有氣隙鐵芯的平均導磁率 基本與氣隙L1的長度成反比；因此 的值正好就是對應圖2-25-b中，切線o-b與B軸夾角
的正切值 
相乘正好把兩條正交直線H和B的單位進行歸一化，要么它們之間的夾角就沒有意義。
由圖2-25-b可以看出，當 ≈1/2時，L1為最佳值，實際上也是L1的最小值；因為，平均導磁率 會隨著L1增大而減小。因此，L1的最佳值（或最小值）由下式求得：
（2-68）
把（2-68）式的結果代入（2-67）式，可以求得，當 為最佳值時，有氣隙鐵芯的平均導磁率 正好等于沒有氣隙鐵芯導磁率 的三分之一。
這里特別指出：（2-68）式給出的結果，是在初步滿足磁感應強度增量要求的條件下，求有氣隙鐵芯的平均導磁率 最大值的條件；當然是氣隙長度越小，平均導磁率 就越大。但在實際工作中， 的值要小于此值，因為，對氣隙長度要預留一定的余量，變壓器鐵芯的工作點不可能讓永遠工作在最佳值的邊沿；因此，實際工作中的變壓器鐵芯，其最大磁感應強度增量和最大磁場強度增量都會超出（2-68）式給出條件的范圍；所以，由（2-68）式求出的氣隙長度 也是最低極限值。
防止開關變壓器鐵芯出現磁飽和最簡單的另一種方法是采用反磁場，在變壓器鐵芯中安裝永久磁鐵，或在變壓器的初、次級線圈上另外增加一反向直流，并且此直流一般需要用扼流圈電感隔離，或用恒流源供電。由于在變壓器的初、次級線圈上另外增加一反向直流會降低開關電源的工作效率，以及增加成本，目前大多數的開關電源都沒有采用這種方法；只有一些要求磁化動態范圍比較大，且輸出功率也特別大，并且不需考慮成本的場合才會使用。
順便指出，用于正激式開關變壓器鐵芯的氣隙長度與反激式開關變壓器鐵芯的氣隙長度是不一樣的；正激式開關變壓器鐵芯的氣隙長度完全為了滿足最大磁感應強度增量 的要求，而反激式開關變壓器鐵芯的氣隙長度，除了要滿足最大磁感應強度增量 的要求外，還要滿足最小電感量的要求。一般反激式開關變壓器鐵芯的氣隙長度要比正激式開關變壓器鐵芯的氣隙長度大。
未完待續：下文將接著為大家介紹：單激式開關變壓器鐵芯磁滯損耗、渦流損耗的測量，請耐心等待......
相關閱讀：
陶顯芳老師談開關變壓器的工作原理與設計【連載】
開關變壓器磁滯損耗分析及鐵芯磁滯回線測量
http://www.freschetta.cn/power-art/80022164
雙激式的相關參數計算以及設計時存在的風險評估
http://www.freschetta.cn/power-art/80022163
開關變壓器鐵芯導磁率及初始化曲線介紹
http://www.freschetta.cn/power-art/80022154
開關變壓器的工作原理及脈沖對鐵芯的磁化
http://www.freschetta.cn/power-art/80022153
陶老師談：單激式變壓器開關電源的工作原理
http://www.freschetta.cn/power-art/80022120
