【導(dǎo)讀】卓老師，我有一個信號與系統(tǒng)的問題想請教。按照時域采樣定理，采樣頻率≥2倍的信號頻率，才能得到信號全部信息。
而以智能車中的編碼器測速為例。我們知道測速周期在可接受范圍內(nèi)越小越利于控速，比如2ms。但2ms采樣一次速度，究竟能不能得到速度信號的全部信息我們卻不得而知，歸根結(jié)底是因為不知道速度信號的頻率是多少。
那么智能車速度信號的頻率要如何得知呢？
速度光電編碼盤
（回復(fù)）提問中的問題包括有三個子問題：
（1）根據(jù)采樣定理，如何采集速度信號？
（2）使用光電碼盤測量速度信號主要誤差來源是什么？
（3）根據(jù)車模速度控制需要究竟需要按照什么周期采集速度信號？
同學(xué)們學(xué)習(xí)信號采樣定理，最容易犯的錯誤就是機械的照搬定理的結(jié)論，卻沒有注意到定理的使用條件。
信號采樣定理的應(yīng)用條件有兩個：一是信號是一個頻帶受限信號，即信號有一個最高頻率；二是除了知道信號頻譜的最高頻率之外，不再知道其它信號的額外信息了。在此條件下，信號的奈奎斯特頻率，即信號的采樣頻率就是信號的最高頻率的兩倍。
如果額外還知道信號的其它條件，比如信號是一個窄帶信號，除了最高頻率之外，還有最低頻率；此時就可以使用低得多頻率完成信號的采樣。這一點可以參照鄭君里教授《信號與系統(tǒng)》第三章的最后一個習(xí)題。
舉一個極端的例子，如果已知信號是一個正弦波，即信號的頻譜是一個線譜，此時實際上只需要任意對信號采樣三個不同時間的數(shù)據(jù)，在一般意義上便可以恢復(fù)該信號，此時成為信號的參數(shù)估計。
對于車模的速度信號，經(jīng)過光電編碼盤之后，它反映在兩路輸出正交方波信號中，速度信號是該方波信號的頻率參數(shù)。
此時可以看成速度信號調(diào)制在兩路正交同頻率的方波脈沖信號中，是調(diào)頻調(diào)制。因此，接受到的光電編碼信號是速度信號的調(diào)制信號。
接收到的光電編碼盤信號是速度的調(diào)制信號
所以光電編碼信號的頻譜并不是速度信號的頻譜，而是速度的頻譜被調(diào)制后進行了頻譜搬移。如果對速度信號進行采樣，則需要對原來信號進行解調(diào)之后才能夠獲得速度信號。
如何從光電脈沖信號解調(diào)出速度信號在第二個小問題進行回答。在此之前，還是需要討論普通車模的速度信號的頻譜范圍如何確定？
信號的頻譜范圍取決于信號的交流分量的范圍。如果車模的速度是保持在恒速運行，不論這個速度多大，對應(yīng)的頻譜范圍都是0。
那么如何估計車模速度的交變分量呢？這一點可以使用車模從速度為零加速到最高速度的時間，或者從最高速度減速到0 的時間來衡量。這個時間的倒數(shù)與速度的頻帶寬度成正比。
比如車模使用0.2秒從靜止加速到最高速度并保持勻速運行，對于這樣一個斜邊速度信號，它的頻譜本身是無窮大的，但可以認(rèn)為其主要頻譜能量集中在5Hz（0.2秒的倒數(shù)）以內(nèi)。對于速度信號的采樣可以使用5Hz的兩倍以上的頻率完成采樣，即10Hz以上的采樣頻率。當(dāng)然，為了留出一定的余量，則需要使用20H以上的頻率進行采樣。
具體采樣周期需要根據(jù)第二個問題-速度測量誤差來源和第三個問題車模速度離散控制周期綜合確定。
第二個問題是速度測量誤差來源。由于常見到的速度編碼器是將速度信號調(diào)制在兩路正交脈沖信號上。
一款實際應(yīng)用的Hall傳感器測量速度
通常可以采用脈沖數(shù)量測量方法、脈沖周期測量方法、以及它們的組合方法。測量的誤差與總測量時間T成反比，即測量周期越長，所獲得的頻率越準(zhǔn)確。
對于信號的頻率估計所產(chǎn)生的不確定性與信號的持續(xù)時間T呈現(xiàn)反比關(guān)系。這就是著名的信息測不準(zhǔn)原理。相關(guān)的討論可以參見推文《傅里葉變換與不確定性》中的敘述。
因此，如果想獲得更加精確的速度信息，則需要更長的測量周期，則對應(yīng)的測量速度的頻率就需要越低。最后在結(jié)合控制速度的精確度來粗略估計對速度的測量大體精度。
最后一個問題就是關(guān)于車模速度控制周期。車模的速度調(diào)節(jié)是由單片機通過軟件來實現(xiàn)的，這是一個離散時間控制系統(tǒng)。其中一個重要的參數(shù)，就是離散時間系統(tǒng)的控制周期的選擇。
離散時間控制系統(tǒng)的周期在選擇上只要比起控制對象的頻帶寬度對應(yīng)的時間常數(shù)小一個數(shù)量級，便可以達(dá)到很好的控制效果了。
當(dāng)確定下速度控制周期之后，對于速度采集的周期（頻率）也就相繼確定下來了，即速度控制周期就等于速度采樣周期。
需要根據(jù)控制效果來確定被控對象的控制周期。對于控制效果，往往需要根據(jù)控制結(jié)果的性能來衡量，它們包括控制量的過沖比率、上升時間、穩(wěn)定時間以及穩(wěn)態(tài)精度等等。這可以從控制對象的單位階躍響應(yīng)曲線來定義。
下面是選擇了一個帶有0.2秒延遲的二階系統(tǒng)，它的單位沖擊響應(yīng)如下圖所示：
為了提高該系統(tǒng)的性能，即減少系統(tǒng)過沖，同時提高系統(tǒng)的跟蹤速度，可以對該系統(tǒng)引入負(fù)反饋控制。
下面是引入比例負(fù)反饋控制的效果。比例控制參數(shù)從0增加到5.
下圖給出了在不同的反饋比例因子，反饋系統(tǒng)的過程比率。可以看到，在反饋比例系數(shù)為1.75左右時，系統(tǒng)過沖最小，大約在50%的過沖左右。
如果希望進一步減少系統(tǒng)的過沖，可以再引入微分控制項。下圖給出了反饋比例系數(shù)為1.75，微分反饋控制系數(shù)從0增加到1的過程中，系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)曲線。系統(tǒng)的過沖從50%降低到20%左右。
下圖繪制出在不同的微分系數(shù)下，系統(tǒng)的過沖變化曲線。在微分系數(shù)為0.75左右，系統(tǒng)過沖達(dá)到最小。
根據(jù)前面兩次實驗，可以大體確定下系統(tǒng)反饋控制的最優(yōu)參數(shù)，比例系數(shù)為1.75，微分系數(shù)為0.75左右。
所形成的反饋控制如下圖所示：
使用MATLAB的bode命令繪制出此時系統(tǒng)的頻率特性：
從上圖可以看出，該系統(tǒng)是一個低通系統(tǒng)。但由于延遲的存在，系統(tǒng)具有多個諧振峰值。第一個截止頻率在1.6Hz左右，第一個諧振頻率在15Hz左右。
對于該系統(tǒng)如果采用單片機軟件控制，則需要確定控制周期。控制周期與控制效果之間有什么關(guān)系呢？
下圖通過實驗，對原來的連續(xù)控制系統(tǒng)進行離散化，取控制周期0.01s變化到0.75秒，觀察系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的變化。
下圖給出了在不同的控制周期下，系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)的過沖比率。從圖中可以看出，系統(tǒng)過沖量與控制周期之間并不是一個簡單的曲線關(guān)系，而是隨著控制周期增加呈現(xiàn)多次波動情況。
對于一個特定的對象，并不是控制周期越小越好，總是存在著一些最優(yōu)的控制周期。
對于該系統(tǒng)，當(dāng)控制周期超過0.618秒的時候，反饋系統(tǒng)就不再穩(wěn)定，呈現(xiàn)發(fā)散狀態(tài)。
從上面的實驗可以看出，對于控制周期小于0.1秒的時候，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，而且過沖誤差控制在1.35之內(nèi)。下面對于控制周期在0.01至0.1秒之間再進行實驗，觀察在不同控制周期下的控制效果。
下面曲線繪制出在控制周期從0.01秒到0.1秒變化時，系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)的過沖誤差曲線。該曲線呈現(xiàn)規(guī)律的波動。
因此，從整體上來看，對于該系統(tǒng)，控制周期只要小于0.1秒，系統(tǒng)過沖就不是很大了。控制周期從10毫秒至40毫秒之間控制性能差別不大了。
最后對于提問的回復(fù)進行小結(jié)：對于速度信號的測量，它的測量頻率不是按照光電編碼信號的最高頻率來確定的，而是按照其中速度信號的頻率來確定采樣信號的。速度的頻率范圍可以從車模加速時間或者停止時間的倒數(shù)來近似確定。
最終的速度采樣周期則需要跟控制軟件周期保持一致。而該周期的確定則是根據(jù)控制性能（過沖量、過渡時間、穩(wěn)定精度等）來權(quán)衡。
實踐中，在控制性能能夠滿足要求的情況下，不要一味減小控制周期。這不僅對提高控制性能無益，同時由于對速度采樣的周期減少，而帶來額外的測量誤差。這測量噪聲在控制回路中會引起更大的控制噪聲。
公眾號留言
留言1：卓老師，針對現(xiàn)在公布的初步規(guī)則我有幾點疑問和建議，想和您交流一下：1.規(guī)則規(guī)定的十字路口超車標(biāo)志，按您的回復(fù)來說并不是所有路口都存在。那如果在不允許抄近路的地方抄了，是否會罰時？罰時多久？
2.規(guī)則規(guī)定的車庫元素，其邊緣是全部路肩鋪蓋還是只貼上膠帶還是間隔鋪設(shè)？如果在停車時撞上了車庫邊緣或者超出其邊緣是否犯規(guī)？如果算犯規(guī)又怎么判罰？
3.按照比賽要求，雙車基本是一定會安裝交接裝置的。這些裝置安裝后車模的長寬高究竟如何計算？是按照初始狀態(tài)計算還是按照交接過程中運行的最大范圍計算？
4.初步規(guī)則中并沒有明確車模交接棒的位置。那么這個位置比賽中究竟是選手自己選還是賽道直接指定？如果指定的話是指定一個位置還是一片區(qū)域？
對于交接棒的位置老師我有個建議：可否在賽道設(shè)計時就指定一塊區(qū)域交接，然后在這塊區(qū)域上的某個位置再設(shè)置一個不帶起跑線的車庫。會車時要求后車從車庫駛出接球，前車傳球完后駛?cè)朐撥噹欤渌麆幼鞑蛔儭＿@樣就解決了位置的問題，而且校內(nèi)調(diào)試時多出的這個車庫并不會影響其他組別同學(xué)調(diào)試。
老師這就是我的疑問和建議，希望老師能夠給予解答，謝謝老師！最后插一句：老師別太熬夜了，注意身體，您這推文時間太讓人擔(dān)心了
回復(fù)：謝謝你通過提問規(guī)則所提出疑問可以幫助我們進一步完善規(guī)則。1）如果在沒有標(biāo)示的十字路口車模沒有直接前行，則比賽失敗；2）對于車庫邊緣不一定鋪設(shè)路肩，只要車模外輪廓在車庫內(nèi)即算停車成功；否則加罰一定的時間；3）對于雙車交接接力棒的裝置應(yīng)該計算在車模總長度內(nèi)；該長度應(yīng)該在比賽前、后都不超過要求，這樣判罰較為簡便；4）車模交接區(qū)應(yīng)該在比賽前同一指定，在完成交接過程在前后一個一米的區(qū)域便于判斷。你所提出的中間再設(shè)置一個停車庫的建議非常好。值得吸收在正式規(guī)則中。
留言2：老師，這個燈如果按照規(guī)則進行設(shè)定的話。那他的光線就太不均勻了（我們用的是以往的信標(biāo)燈控制電路，電路面積比較小）。所以我想問一下老師，今年的比賽信標(biāo)燈電路會不會改成面積更大，但更扁的電路？
回復(fù)：為了和之前相互能夠兼容，今年的信標(biāo)燈電路不會再增大了。
留言3：卓大大，現(xiàn)在再給您留言可能有點晚了，但是還是想提一些建議。就是不知室內(nèi)能否保留純電磁組給節(jié)能。大大可能不知道，對于節(jié)能來說硬件的糾錯周期是很長的，光是把平衡調(diào)出來就要改好幾版車。因為我們不能像三輪組一樣加配重條來調(diào)機械零點，就只能做一版車測一測中心，然后改一版試試(因為我們的車要盡可能輕)。
所以留給軟件真正上賽道調(diào)試的時間其實不多，像我們學(xué)校去年的節(jié)能組西部賽前只有一個星期的上賽道調(diào)試時間。本身調(diào)平衡已經(jīng)不易(主要在于硬件方面想要做到最優(yōu))，如果再加上調(diào)攝像頭，那就有點太極限了。
我們組三個人雖然都是節(jié)能的萌新，但本身都有一年的競賽基礎(chǔ)，我相信大部分敢選節(jié)能的組別應(yīng)該都和我們一樣，但是這項任務(wù)我們做起來也是相當(dāng)頭疼，想到將來的極限操作，還是請大大能夠手下留情。
本文轉(zhuǎn)載自 TsinghuaJoking.
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