【導(dǎo)讀】雖然數(shù)字相控陣在商業(yè)以及航空航天和防務(wù)應(yīng)用中不斷增長，但許多設(shè)計工程師對相控陣天線并不算了解。相控陣天線設(shè)計并非新生事物，經(jīng)過數(shù)十年的發(fā)展，這一理論已經(jīng)相當(dāng)成熟，但是，大多數(shù)文獻(xiàn)僅適合精通電磁數(shù)學(xué)的天線工程師。隨著相控陣開始包含更多混合信號和數(shù)字內(nèi)容，許多工程師可以從更直觀的相控陣天線方向圖說明中獲益。事實證明，相控陣天線行為與混合信號和數(shù)字工程師每天處理的離散時間采樣系統(tǒng)之間有許多相似之處。
本系列文章的目的并非培養(yǎng)天線設(shè)計工程師，而是向使用相控陣子系統(tǒng)或器件的工程師展現(xiàn)他們的工作對相控陣天線方向圖的影響。
波束方向
首先，讓我們來看看一個直觀的相控陣波束轉(zhuǎn)向示例。圖1是一個簡單的圖示，描繪了波前從兩個不同方向射向四個天線元件。在接收路徑上的每個天線元件后面都會產(chǎn)生延時，之后所有四個信號再匯總到一起。在圖1a中，該延時與波前到達(dá)每個元件的時間差一致。在本例中，產(chǎn)生的延時會導(dǎo)致四個信號同相到達(dá)合并點。這種一致的合并會增強組合器輸出的信號。在圖1b中，產(chǎn)生的延時相同，但在本例中，波前與天線元件垂直。現(xiàn)在產(chǎn)生的延時與四個信號的相位不一致，因此組合器輸出會被大幅削弱。
圖1.理解轉(zhuǎn)向角度。
在相控陣中，延時是波束轉(zhuǎn)向所需的可量化變量。但也可以通過相移來仿真延時，這在許多實現(xiàn)中是十分常見且實用的做法。我們將在介紹波束斜視的部分討論延時與相移的影響，但目前我們先來了解相移實現(xiàn)，然后推導(dǎo)相應(yīng)相移的波束轉(zhuǎn)向計算。
圖2所示為使用移相器而非延時的相控陣排列。請注意，我們將瞄準(zhǔn)線方向(θ = 0°)定義為垂直于天線正面。瞄準(zhǔn)線右側(cè)定義為正角θ，瞄準(zhǔn)線左側(cè)定義為負(fù)角。
圖2.使用RF移相器的相控陣概念。
要顯示波束轉(zhuǎn)向所需的相移，可以在相鄰元件之間繪制一組直角三角形，如圖3所示。其中，ΔΦ表示這些相鄰元件之間的相移。
圖3.相移ΔΦ與波束轉(zhuǎn)向角度的推導(dǎo)。
圖3a定義了這些元件之間的三角恒等式，各元件之間相隔距離用(d)表示。波束指向與瞄準(zhǔn)線相距θ的方向，波束距離視平線的角度為φ。在圖3b中，我們看到θ與φ的和為90°。這樣我們就可以計算L，因為L = dsin(θ)，L表示波傳播的變量距離。波束轉(zhuǎn)向所需的延時等于波前遍歷該距離L所用的時間。如果將L視作波長的分?jǐn)?shù)，則相位延遲可以用該延時替代。ΔΦ等式可以定義為相對于θ，如圖3c所示以及等式1中的重復(fù)計算。
如果元件間隔正好等于信號波長的一半，則可以進(jìn)一步簡化為：
我們以具體示例來計算這些等式。假設(shè)兩個天線元件間隔15 mm。如果一個10.6 GHz的波前以距離機械瞄準(zhǔn)線30°的角度到達(dá)，那么這兩個元件之間的最佳相移是多少？
所以，如果波前以θ = 30°到達(dá)，并將相鄰元件的相位移動95°，則可以使兩個元件各自的信號實現(xiàn)一致疊加。這樣就可以使該方向的天線增益達(dá)到最大值。
為深入理解相移如何隨著波束方向(θ)而變，圖4以圖形方式繪制了不同條件下的這些等式圖解。從這些圖形中可以觀察到一些有趣的現(xiàn)象。比如，d = λ/2時，瞄準(zhǔn)線附近的斜率約為3:1，即等式2中的乘數(shù)π。這種情況還展示出，元件之間達(dá)到180°完整相移會使波束方向達(dá)到理論相移90°。實際上，在真實的元件方向圖中，這是不可能實現(xiàn)的，但等式的確顯示出理論上的理想值。需要注意的是，d > λ/2時，不存在能夠提供完整波束位移的相移。在后面的文章中，我們將會介紹該情況會導(dǎo)致天線方向圖中的柵瓣，該圖形是第一次表明，d > λ/2情況下的行為有所不同。
圖4.三種d/λ情況下，元件之間的相移ΔΦ與波束方向(θ)之間的關(guān)系。
等間隔線性陣列
上文推導(dǎo)的等式僅適用于兩個元件。但實際的相控陣可能在兩個維度上包含數(shù)千個間隔開的元件。但出于本文用途，我們僅考慮一個維度：線性陣列。
線性陣列為單元件寬度，其中包含N個元件。不同線性陣列，間隔可能各有不同，但同一線性陣列通常是等間隔。因此，在本文中，我們將各個元件之間的間隔設(shè)為統(tǒng)一距離d（圖5）。該等間隔線性陣列模型雖然是簡化版，但基本介紹了天線方向圖如何形成以及各種不同的條件。我們可以進(jìn)一步運用線性陣列原理來理解二維陣列。
圖5.等間隔線性陣列(N = 4)。
近場與遠(yuǎn)場
如何將上文針對N = 2的線性陣列推導(dǎo)的公式運用到N = 10,000的線性陣列呢？現(xiàn)在，似乎每個天線元件都以稍微不同的角度指向球形波前，如圖6所示。
圖6.RF信號源與線性陣列較近。
如果RF源較近，則每個元件的入射角不同。這種情況稱為近場。我們可以算出所有這些角度，有時需要這么做是為了進(jìn)行天線測試和校準(zhǔn)，因為我們的測試裝置只能這么大。但如果RF源較遠(yuǎn)，則就是圖7所示的情況。
圖7.RF信號源與線性陣列相隔較遠(yuǎn)。
如果RF源較遠(yuǎn)，則球形波前的大半徑會導(dǎo)致大致平行的波傳播路徑。因此，所有波束角均相等，每個相鄰元件的路徑長度(L = d × sinθ)均超過隔壁元件。這樣簡化了數(shù)學(xué)計算，意味著我們推導(dǎo)出來的雙元件等式可以應(yīng)用到數(shù)千個元件，但前提是這些元件間隔相同。
但在什么情況下可以做出遠(yuǎn)場假設(shè)？遠(yuǎn)場有多遠(yuǎn)？雖然稍顯主觀，但通常而言，遠(yuǎn)場定義是超過：
其中，D表示天線直徑（對于等間隔線性陣列為(N-1) × d）
對于小型陣列（D值小）或低頻（λ值大），遠(yuǎn)場距離較小。但對于大型陣列（或高頻），遠(yuǎn)場距離可能長達(dá)數(shù)千米！這樣測試和校準(zhǔn)陣列就十分困難。對于這類情況，可以使用更為詳細(xì)的近場模型，然后再按比例擴展到真實世界使用的遠(yuǎn)場陣列。
天線增益、方向性和孔徑
在繼續(xù)深入之前，先了解天線增益、方向性和孔徑的定義十分有用。首先介紹增益與方向性，因為這兩個概念經(jīng)常互換使用。天線增益和方向性是相較于各向同性天線而言，各向同性天線是所有方向均勻輻射的理想天線。方向性是指在特定方向上測得的最大功率Pmax與所有方向輻射的平均功率Pav的比值。如果沒有定義方向，則方向性通過等式4確定。/p>
在比較天線時，方向性是一個有用指標(biāo)，因為它定義了集中輻射能量的能力。增益與方向性的方向圖相同，但增益包含天線損耗。
Prad是總輻射功率， Pin是輸入到天線的功率，k表示天線輻射過程中的損耗。
接下來，我們將天線方向圖視為三維方向的函數(shù)，將方向性視為波束寬度的函數(shù)。
圖8.投射到球體的面積的三維視圖。
球體的總表面積是4π2，球體上的面積以球面度為單位定義，等于球體中的4π球面度。因此，來自各向同性輻射體的功率密度為
采用的單位為(W/m2).
球體上的一塊面積有兩個角方向。在雷達(dá)系統(tǒng)中，這兩個角方向通常稱作方位角和俯仰角。波束寬度可以描述為每個角方向的函數(shù)（θ1和θ2）：該組合會在球體上形成一塊面積ΩA.
ΩA是以球面度為單位表示的波束寬度，可以近似為ΩA ≈ θ1 × θ2.
確認(rèn)ΩA為球體上的面積后，方向性可以表示為
我們將要考慮的第三個天線術(shù)語是孔徑。天線孔徑表示用于接收電磁波的有效面積，包含相對于波長的函數(shù)。各向同性天線的孔徑為
增益是相對于各向同性天線而言，產(chǎn)生的有效天線孔徑為
綜合三個術(shù)語來看，可以將增益視作用于定義輻射方向圖的角的函數(shù)，表示天線中的效率（或損耗）。
線性陣列的陣列因子
目前，我們能夠預(yù)測元件之間的最佳時間（或相位）變量來實現(xiàn)最大天線方向性。但我們非常需要了解和操作完整的天線增益方向圖。這分為兩個主要方面。首先，陣列的每個獨立元件（或許是貼片）都存在增益，稱為元件因子(GE)。其次，通過陣列波束成型會產(chǎn)生增益影響，稱為陣列因子 (GA)。全陣列天線增益方向圖是這兩個因子的組合，如等式10所示。
圖9.元件因子和陣列因子。
圖9.元件因子和陣列因子。GE表示陣列中單個元件的輻射方向圖。其定義取決于天線的幾何形狀和構(gòu)造，而不是在運行中會發(fā)生變化的因素。知道這一點很重要，因為這會限制總陣列的增益——尤其是靠近視平線時。但由于我們不采用電子控制，因此可以將它保持固定不變，作為總相控陣增益等式的影響因子。在本文中，我們假設(shè)所有獨立元件都有相同的元件因子。
接下來重點介紹陣列因子GA。陣列因子的計算基于陣列幾何結(jié)構(gòu)（d表示等間隔線性陣列）和波束權(quán)重（幅度和相位）。推導(dǎo)等間隔線性陣列的陣列因子十分簡單，但本文末尾引用的參考文獻(xiàn)中詳細(xì)介紹了相關(guān)內(nèi)容。
文獻(xiàn)中使用的等式各有不同，具體取決于線性陣列參數(shù)的定義方式。我們使用本文中的等式，以便與圖2和圖3中的定義保持一致。由于主要問題在于增益如何變化，因此繪制相對于單位增益的標(biāo)準(zhǔn)化陣列因子通常更具指導(dǎo)意義。標(biāo)準(zhǔn)化陣列因子可以寫為等式11。
我們已將波束角度θ0定義為元件之間的相移的函數(shù)θ0；因此，我們也可以將標(biāo)準(zhǔn)化天線因子寫為等式12
陣列因子等式中假設(shè)的條件包括：
● 元件間距相等。
● 元件之間的相移相同。
● 所有元件的幅度相同。
接下來，我們利用這些等式繪制多種陣列尺寸的陣列因子。
圖10.位于線性陣列瞄準(zhǔn)線的標(biāo)準(zhǔn)化陣列因子，其中元件間隔為d = λ/2，元件數(shù)量分別為8、16和32。
圖11.處于多種波束角度的32元件線性陣列的標(biāo)準(zhǔn)化陣列因子，其中元件間隔為d = λ/2。
從這些數(shù)據(jù)中可以觀察到以下幾點：
● 第一個旁瓣位于–13 dBc，與元件數(shù)量無關(guān)。這是由陣列因子等式中的sinc函數(shù)決定的。旁瓣可以通過逐漸減少元件中的增益來改善，這一主題將在本系列后續(xù)內(nèi)容中探討。
● 波束寬度隨著元件數(shù)量而減小。
● 掃描的波束離瞄準(zhǔn)線越遠(yuǎn)，波束寬度會隨之變寬。
● 零點的數(shù)量隨著元件數(shù)量的增加而增多。
波束寬度
波束寬度是天線角度分辨率的一個指標(biāo)。最常見的是通過半功率波束寬度(HPBW)或主瓣的零點到零點的間隔(FNBW)定義波束寬度。要找到HPBW，從峰值向下移動3 dB，并測量角距，如圖12所示。
圖12.天線波束寬度的定義（所示線性陣列為N = 8，d = λ/2，θ = 30°）。
利用我們的標(biāo)準(zhǔn)化陣列因子等式，可以通過將等式3設(shè)為等于半功率級別（3 dB或1/√2）來解算該HPBW。我們假設(shè)機械瞄準(zhǔn)線(θ = 0°)、N = 8且d = λ/2。
然后解算?Φ得出0.35 rad。利用等式1并解算θ：
該θ是到達(dá)3 dB點（即HPBW的一半）的峰值。因此，我們只需要將它乘以2即可獲得3 dB點之間的角距。這會得出12.8°的HPBW。
我們可以對等于0的陣列因子重復(fù)這個計算，并獲得在前文所述條件下的第一個零點到零點的間隔角度FNBW 28.5°。
對于等間隔線性陣列，等式15可計算出HPBW [1,2]的近似值。
圖13繪制了在λ/2元件間隔條件下多種元件數(shù)量的波束寬度與波束角。
圖13.元件數(shù)量為16、32和100時，元件間隔為λ/2的波束寬度與波束角。
在此圖中，值得注意的是與業(yè)界正在開發(fā)的陣列尺寸相關(guān)的一些觀察結(jié)果。
● 1°波束精度要求存在100個元件。如果方位角和俯仰角都有此要求，則會產(chǎn)生包含10,000個元件的陣列。1°精度只會出現(xiàn)在近乎理想條件下的瞄準(zhǔn)線處。在現(xiàn)場陣列中，若要在多種掃描角中保持1°精度，將會進(jìn)一步增加元件數(shù)量。這一觀察結(jié)果會為超大陣列設(shè)定波束寬度的實際限制。
● 1000個元件的陣列是業(yè)界常見陣列。如果每個方向32個元件，則總共擁有1024個元件，靠近瞄準(zhǔn)線處會產(chǎn)生小于4°的波束精度。
● 256個元件的陣列可以低成本量產(chǎn)，并且仍具有小于10°的波束指向精度。這或許是許多應(yīng)用能夠接受的理想選擇。
● 另外還需注意的是，對于上述任何情況，波束寬度在60°偏移處將會翻倍。這是因為分母中有cosθ，受陣列投影縮減的影響；即，從某個角度觀察時，陣列看起來像是縮小的交叉部分。
組合元件因子和陣列因子
上一節(jié)僅考慮了陣列因子。但為了找出總天線增益，還需要元件因子。圖14描述了一個示例。在該示例中，我們使用一個簡單的余弦形狀作為元件因子，或標(biāo)準(zhǔn)化元件增益GE(θ)。余弦滾降在相控陣分析中十分常見，如果考慮的是平面，則可以將它顯示出來。在寬邊，有一個最大面積。隨著角度遠(yuǎn)離寬邊，可見面積會隨著余弦函數(shù)而減小。
在上文的λ/2間隔、均勻輻射方向圖、含16個元件的線性陣列中使用了陣列因子GA(θ)。總方向圖是元件因子和陣列因子的線性乘積，因此采用dB刻度，可以將它們相加。
圖14.元件因子和陣列因子組合形成總天線方向圖。
隨著波束遠(yuǎn)離瞄準(zhǔn)線的一些觀察結(jié)果：
● 主波束的幅值按照元件因子的速率衰減。
● 瞄準(zhǔn)線上的旁瓣沒有幅度損失。
● 在原理瞄準(zhǔn)線時總體陣列的旁瓣性能下降。
天線繪圖：笛卡爾與極坐標(biāo)
目前使用的天線方向圖繪圖一直采用笛卡爾坐標(biāo)。但采用極坐標(biāo)繪制天線方向圖也很常見，因為它們更容易表示從天線向外部空間輻射的能量。圖15是圖12的重繪版本，但使用的是極坐標(biāo)。請注意，采用的數(shù)據(jù)完全相同，只是以極坐標(biāo)系統(tǒng)重新繪制。能夠以任一表示方法呈現(xiàn)天線方向圖是十分有意義的，因為這兩種系統(tǒng)在文獻(xiàn)中均會使用。在本系列的大部分內(nèi)容中，我們將使用笛卡爾坐標(biāo)，因為該表示方法更容易比較波束寬度和旁瓣性能。
圖15.N = 8，d = λ/2，θ = 30°的極坐標(biāo)天線方向性繪圖。
陣列相互作用
截至目前，所有圖解和文字均描述的是陣列接收的信號。那么對于發(fā)射陣列會有何不同呢？幸運的是，大多數(shù)天線性陣列存在相互作用關(guān)系。因此，接收天線的所有圖解、等式和術(shù)語與發(fā)射天線相同。有時將波束視為由陣列接收會更容易理解。而有時，比如就柵瓣而言，或許將陣列視為發(fā)射波束更為直觀。在本文中，我們通常將陣列描述為接收信號。但如果對您而言難以想象，也可以從發(fā)射角度思考相同的概念。
小結(jié)
本系列第1部分至此結(jié)束。本文介紹了關(guān)于相控陣波束轉(zhuǎn)向的概念。推導(dǎo)并以圖形方式展示了用來計算波束轉(zhuǎn)向的陣列相移的等式。然后通過觀察元件數(shù)量、元件間隔和波束角對天線響應(yīng)的影響，定義了陣列因子和元件因子。最后，展示了以笛卡爾與極坐標(biāo)表示的天線方向圖對比。
在本系列后續(xù)文章中，將進(jìn)一步探討相控陣天線方向圖和減損。我們將研究天線變窄如何導(dǎo)致旁瓣縮小，柵瓣是如何形成的，以及在寬帶系統(tǒng)中相移與延時的影響。本系列最后將對延遲塊的有限分辨率進(jìn)行分析，介紹它如何形成量化旁瓣并降低波束分辨率。
參考電路
Balanis, Constantine A. 天線理論：分析與設(shè)計。第三版，Wiley，2005年。
Mailloux, Robert J. 相控陣天線手冊。第二版，Artech House，2005年。
O’Donnell, Robert M. “雷達(dá)系統(tǒng)工程：簡介。”IEEE，2012年6月。
Skolnik, Merrill. 雷達(dá)手冊。第三版，McGraw-Hill，2008年。
推薦閱讀：
