【導(dǎo)讀】上一篇文章討論了濾波器相位與濾波器實(shí)現(xiàn)拓?fù)渲g的關(guān)系，本篇將討論濾波器傳遞函數(shù)本身的相位漂移。雖然濾波器主要是針對幅度響應(yīng)而設(shè)計(jì)的，但在延時(shí)仿真、級聯(lián)濾波器電路特別是過程控制環(huán)路等應(yīng)用中相位響應(yīng)非常重要。
本文主要討論低通和高通響應(yīng)。后續(xù)系列文章還將討論帶通和陷波（帶阻）響應(yīng)、全通響應(yīng)以及濾波器的脈沖與階躍響應(yīng)。
回顧以前的文章可知，有源濾波器的傳遞函數(shù)可以被看作是濾波器傳遞函數(shù)和放大器傳遞函數(shù)的級聯(lián)響應(yīng)（圖1）。
圖1. 以兩個(gè)級聯(lián)的傳遞函數(shù)的形式表示的濾波器。
低通傳遞公式
首先，我們再看一下傳遞公式的相位響應(yīng)。
對于單極點(diǎn)低通濾波器，傳遞函數(shù)的相移等于：
(1)其中ω代表角頻率（ω = 2π f 弧度每秒，1 Hz = 2π 弧 度 每 秒），ω0代表濾波器的弧度 中心頻率。中心頻率也可被看作是截止頻率。就相位 而言，中心頻率是相移在整個(gè)范圍一半處的頻率。由于角頻率用在比值公式中，因此f/f0完全可以代替ω/ω0。
圖2（左軸）是在中心頻率以下二十倍頻到中心頻率以上二十倍頻范圍內(nèi)對公式1的 求值 結(jié)果。由于單 極 點(diǎn)低 通濾 波器 具 有90°的相移范圍—從0°至90° —中心頻率的相移為-45°。當(dāng)ω = ω0時(shí)，歸一化中心頻率等于1。
圖2. 中心頻率為1的單極點(diǎn)低通濾波器（左軸）和高通濾波器（右軸）的相位響應(yīng)
同樣，單極點(diǎn)高通濾波器的相位響應(yīng)等于
(2)圖2（右軸）是在中心頻率以下二十倍頻至中心頻率以上二十倍頻范 圍內(nèi)對公式2的求值結(jié)果。中心頻率 (=1) 的相移等于+45°。
如果低通通帶定義為截止頻率以下的頻率，高通通帶定義為中心頻率以上的頻率，那么最小相移（0°至45°）應(yīng)在通帶內(nèi)。反之，最大相 移（45°至90°）發(fā)生在阻帶內(nèi)（頻率高于低通截止頻率并且低于高通截止頻率）。
在低通情況下，濾波器輸出滯后于輸入（負(fù)相移）；在高通情況下，輸出領(lǐng)先于輸入（正相移）。圖3顯示了相關(guān)波形：輸入正弦波信號（中間曲線），截止頻率為1k H z 的單極點(diǎn)高通濾波器輸出信號（頂部曲線），截止頻率為1k H z的單極點(diǎn)低通濾波器輸出信號（底部曲線）。信號頻率也是1k H z—兩個(gè)濾波器的截止頻率。圖中波形領(lǐng)先和滯后45°顯而易見。
圖3. 輸入（中間曲線）、單極點(diǎn)高通濾波器輸出（頂部曲線）和低通濾波器輸出（底部曲線）。
二階低通濾波器傳遞函數(shù)的相移可以近似表示為:
(3)圖4（左軸）是在中心頻率以下二十倍頻至中心頻率以上二十倍頻范 圍內(nèi)對公式3的求值結(jié)果（代入α= √2 = 1.414）。這里的中心頻率等于1，相移為-90°。
圖4. 中心頻率為1 的雙極點(diǎn)低通濾波器（左軸）和高通濾波器（右軸）的相位響應(yīng)
在公式3中，α是濾波器的阻尼比，等于Q的倒數(shù)（即Q = 1/α）。它決定了幅度（和瞬態(tài)）響應(yīng)中的峰值和相位變化的尖銳度。α等于1.414很 好地表征了雙極點(diǎn)巴特沃斯（最大平坦度）響應(yīng)。
雙極點(diǎn)高通濾波器的相位響應(yīng)可以被近似表示為：
(4)圖4（右軸）是在中心頻率以下二十倍頻至中心頻率以上二十倍頻范 圍內(nèi)對公式4的求值結(jié)果(α=1.414)。在中心頻率(=1) 點(diǎn)，相移為90°。
圖2和圖4只使用了一條曲線，這是因?yàn)楦咄ê偷屯ㄏ辔豁憫?yīng)是相似的，只是相移分別是90°和180° （π/2和π弧度）。這等效于相位符號的改變，導(dǎo)致低通濾波器輸出滯后而高通濾波器領(lǐng)先。
在實(shí)際使用中，高通濾波器其實(shí)是一個(gè)寬帶帶通濾波器，因?yàn)榉糯笃鞯捻憫?yīng)至少會(huì)引入一個(gè)低通單極點(diǎn)。
圖5是雙極點(diǎn)低通濾波器的相位響應(yīng)和增益響應(yīng)，圖中給出了不同Q值時(shí)的曲線。這個(gè)傳遞函數(shù)表明，相位變化遍布在相當(dāng)寬范圍的頻 率上，而變化的范圍與電路Q值呈反比關(guān)系。雖然本文主要討論相位響應(yīng)，但相位變化率和幅度變化率之間的關(guān)系也值得我們認(rèn)真思考。
圖5. 作為Q函數(shù)的雙極點(diǎn)低通濾波器電路的相位和幅度響應(yīng)。
值得注意的是，每級雙極點(diǎn)電路提供最大180°的相移，在極端情況下，相移–180°，雖然滯后360°，但這個(gè)角度與180°相移具有相同的屬 性。基于這個(gè)原因，多級濾波器的傳遞函數(shù)圖形經(jīng)常在一個(gè)限定范圍內(nèi)，比如180°至–180°，以提高圖形讀取的準(zhǔn)確性（見圖9和圖11）。 在這種情況下，我們必須認(rèn)識到，圖形上的角度實(shí)際上是真正的角度加上或減去m×360°。雖然在這種情況下圖形的頂部和底部會(huì)出 現(xiàn)不連續(xù)（因?yàn)閳D形變化了±180°），但實(shí)際相位角度的變化是平滑和單調(diào)的.
圖6給出了不同Q值下雙極點(diǎn)高通濾波器的增益和相位響應(yīng)。這個(gè)傳遞函數(shù)表明，180°的相位變化可以發(fā)生在很大的頻率范圍內(nèi)，而變 化的范圍反比于電路Q值。另外值得注意的是，曲線的形狀非常類似。 特別是相位響應(yīng)具有相同的形狀，只是覆蓋范圍不同。
圖6. 作為Q 函數(shù)的雙極點(diǎn)高通濾波器的相位與幅度響應(yīng)。
放大器傳遞函數(shù)
放大器的開環(huán)傳遞函數(shù)基本上就是單極點(diǎn)濾波器的傳遞函數(shù)。如果是反相放大器，效果上等同于插入180°的額外相移。放大器的閉 環(huán)相移通常被忽略，但如果它的帶寬不夠的話，將影響復(fù)合濾波器的總傳遞函數(shù)。本文選用了A D822進(jìn)行濾波器仿真。 A D822將影響復(fù)合濾波器的傳遞函數(shù)，但只是在較高頻率處，因?yàn)樗脑鲆婧拖嘁票３衷诒葹V波器本身的轉(zhuǎn)折頻率高得多的頻率。從數(shù)據(jù)手冊上摘錄 的AD822開環(huán)傳遞函數(shù)見圖7。
圖7. A D822 增益和相位波特圖。
例1：1kHz、5極點(diǎn)、0.5dB切比雪夫低通濾波器
下面舉一個(gè)1k Hz、5極點(diǎn)、0.5dB的切比雪夫低通濾波器例子進(jìn)行討論。選擇這個(gè)特定例子的原因如下：
1) 與巴特沃斯濾波器不同，切比雪夫?yàn)V波器各級電路的中心頻率是完全不同的，這樣能使圖形上的曲線伸展得更開一些，使得圖形更加有趣。
2) 電路的Q值一般要高一點(diǎn)。
3) 奇數(shù)個(gè)極點(diǎn)可以突出單極點(diǎn)和雙極點(diǎn)電路之間的區(qū)別。
濾波器部分采用ADI網(wǎng)站上提供的濾波器設(shè)計(jì)向?qū)нM(jìn)行設(shè)計(jì)。
這部分電路的f0和Q見下表：
圖8是整個(gè)濾波器的原理圖。所選擇的濾波器拓?fù)?mdash; 多反饋 (M F B)—又是任意的，這種選擇使得單極點(diǎn)部分是一個(gè)有源積分器，而不是簡單緩沖的無源RC電路。
圖8. 1kHz、5 極點(diǎn)、0.5dB切比雪夫低通濾波器。
圖9給出了整個(gè)濾波器的各級電路的相移。圖上顯示了單獨(dú)第一級電路（第1級 — 藍(lán) 色）、前面兩級電路（第1和第2級 — 紅色）和整個(gè) 濾波器（第1、第2和第3級—綠色）的相移。這些相移包含了濾波器部分的基本相移、每個(gè)反相放大器貢獻(xiàn)的180°相移和放大器頻率響應(yīng)對總相移的影響。
圖9. 圖8 所示1kHz、5極點(diǎn)、0.5dB切比雪夫低通濾波器的相位響應(yīng)。
讓人感興趣的一些細(xì)節(jié)：首先，作為凈滯后的相位響應(yīng)是負(fù)相加的。 由于在低頻段放大器的倒相，第一個(gè)雙極點(diǎn)電路開始相位是–180°（=180°以360°為模），在高頻段增加到–360°（=0°以360°為模）。第 二級電路增加另外一次倒相，開始相位是–540°（=180°以360°為模），在高頻段相位增加到–720°（=0°以360°為模）。第三級電路在低頻 段的相位開始于–990°（=180°以360°為模），在高頻段增加到–990°（=90°以360°為模）。另外需要注意，當(dāng)頻率超過10k H z 時(shí)，由于放大器的頻率響應(yīng)，相位將發(fā)生輕度的滾降。這種滾降是累積的，每級電路都會(huì)有所增加。
例2：1kHz、5極點(diǎn)、0.5dB切比雪夫高通濾波器
第二個(gè)例子（見圖10）考慮的是一個(gè)1kHz、5極點(diǎn)、0.5dB切比雪夫高通濾波器的相位響應(yīng)。在這個(gè)例子中，濾波器采用S allen-Key 壓控電壓源(VC V S) 電路而不是多反饋 (M F B) 進(jìn)行設(shè)計(jì)（仍使用濾波器設(shè)計(jì)向 導(dǎo)）。雖然是任意選擇的，但VCVS 只需要每級雙極點(diǎn)電路兩個(gè)電容，不像MFB中的每級電路三個(gè)電容，而且前兩級電路是同相的。
圖 10：1kHz、5極點(diǎn)、0.5dB切比雪夫高通濾波器。
圖11給出了濾波器中每級電路的相位響應(yīng)。第一級電路相移開始于低頻段的180°，高頻段下降到0°。第二級電路在低頻段增加了180°，開始于 360°（=0°以360°為模），在高頻段下降到0°。第三級電路增加了一次倒相，開始于低頻段的–180°+90°=-90°，在高頻段下降到–540°（= –180°以360°為模）。請?jiān)俅巫⒁猓捎诜糯笃鞯念l率響應(yīng)，在高頻 段會(huì)有額外的滾降發(fā)生。
圖11：圖10 所示1kHz、5極點(diǎn)、0.5dB切比雪夫高通濾波器的相位響應(yīng)。
結(jié)束語
本文討論了低通和高通濾波器的相移特性。這個(gè)系列中的前一篇文章介紹了相移與濾波器拓?fù)渲g的關(guān)系，在后續(xù)文章中，我們還將 討論帶通、陷波和全通濾波器—最后，我們會(huì)對所有內(nèi)容進(jìn)行回顧，并介紹相移將如何影響濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)，同時(shí)討論群延時(shí)、脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)。
附錄
單極點(diǎn)和雙極點(diǎn)的低通和高通濾波器的通用傳遞函數(shù)見公式A1到公式A4。
單極點(diǎn)低通濾波器的傳遞函數(shù)：
(A1)其中 s = jω and ω0 = 2πf0.
雙極點(diǎn)有源低通濾波器的傳遞函數(shù)：
(A2)其中 HO 是這級電路增益。
單極點(diǎn)高通濾波器的傳遞函數(shù)：
(A3)雙極點(diǎn)有源高通濾波器的傳遞函數(shù)：
(A4)1k Hz、0.5dB 切比雪夫低通濾波器的f0和Q值如下：
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